Question

19．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側），點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）若點P在第二象限內拋物線上一點，過點P作PD∥y軸交AB于D，點E為線段DB上一點，且DE=2$\sqrt{2}$，過E做EF∥PD交拋物線于點F，當點P運動到什么位置時，四邊形PDEF的面積最大？并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，點F為AO的中點，連接BF，點G為y軸負半軸上一點且GO=2，沿x軸向右平移直線AG，記平移過程直線為A′G′，直線A′G′交x軸于點M，交直線AB為N，當△FMN為等腰三角形時，求平移后M點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線方程可求得A、B兩點的坐標，代入拋物線解析式可求得b、c的值，可求得拋物線解析式，再令y=0可求得C點坐標；
（2）過E作EH⊥PD于H，可求得EH，設出P點坐標，則可表示出D、E、F的坐標，從而可表示出PD和EF，利用梯形面積公式可表示出四邊形PDEF的面積，根據二次函數的最值，可求得P點坐標；
（3）可求得直線AG和A′G′的方程，從而可表示出M、N點的坐標，從而可表示出MN、FM、FN的長，分MN=FM、MN=FN和FM=FN三種情況分別求解即可．

解答 解：
（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-4，0），B（0，4），
∵拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，
∴把A、B坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-3x+4，
令y=0可得：-x²-3x+4=0，解得x=1或x=-4，
∴C點坐標為（1，0）；
（2）如圖，過E作EH⊥PD于H，則EH∥OA，

∵OA=OB=4，
∴∠OAB=45°，
∴∠HDE=45°，且DE=2$\sqrt{2}$，
∴HE=HD=2，
設P點坐標為（a，-a²-3a+4），
則D為（a，a+4），E為（a+2，a+6），F為（a+2，-a²-7a-6），
∴|PD|=-a²-3a+4-（a+4）=-a²-4a，|EF|=-a²-7a-6-（a+6）=-a²-8a-12，
∴S_{四邊形PDEF}=$\frac{1}{2}$HE•（PD+EF）
=$\frac{1}{2}$×2（-a²-4a-a²-8a-12）
=-2a²-12a-12
=-2（a+3）²+6，
∴當a=-3時，S_{四邊形PDEF}有最大值6，
此時P點坐標為（-3，4）；
（3）∵OG=2，
∴G點坐標為（0，2），且A（-4，0），
設直線AG方程為y=kx+n，把A、G坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AG方程為y=-$\frac{1}{2}$x-2，
∴可設直線A′G′的方程為y=-$\frac{1}{2}$（x-m）-2=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$m-2，
令y=0可得=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$m-2=0，解得x=m-4，
∴M點坐標為（m-4，0），
聯立直線A′G′與直線AB方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}m-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-12}{3}}\\{y=\frac{m}{3}}\end{array}\right.$，
∴N點坐標為（$\frac{m-12}{3}$，$\frac{m}{3}$），
∵F為OA中點，
∴OF=2，即F（-2，0），
∴MF²=（m-4+2）²=m²-4m+4，
MN²=（m-4-$\frac{m-12}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$-0）²=（$\frac{2}{3}$m）²+（$\frac{1}{3}$m）²=$\frac{5}{9}$m²，
NF²=（$\frac{m-12}{3}$+2）²+（$\frac{1}{3}$m）²=$\frac{2{m}^{2}-12m+36}{9}$，
當△FMN為等腰三角形時，分以下三種情況討論：
①當MN=MF時，即$\frac{5}{9}$m²=m²-4m+4，
解得m=$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$，
此時M的坐標為（$\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$，0）或（$\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$，0）；
②當MN=NF時，即$\frac{5}{9}$m²=$\frac{2{m}^{2}-12m+36}{9}$，
解得m=-6或m=2，
此時M坐標為（-10，0）或M（-2，0）（與F點重合，舍去）；
③當MF=NF時，即m²-4m+4=$\frac{2{m}^{2}-12m+36}{9}$，
解得m=0或m=$\frac{24}{7}$，
此時M坐標為（-$\frac{4}{7}$，0）或（-4，0）（與A點重合，舍去）；
綜上可知，平移后M點的坐標為（$\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$，0）或（$\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$，0）或（-$\frac{4}{7}$，0）．

點評 本題為二次函數的綜合，涉及知識點有待定系數法、四邊形的面積、二次函數的最值、平移、勾股定理及分類討論思想．在（1）中求得A、B坐標是解題的關鍵，在（2）中用P點的坐標表示出四邊形PDEF的面積是解題的關鍵，在（3）中分別表示出MF、NF、MN的長是解題的關鍵．本題考查知識點多，綜合性強，計算量大，難度較大．