Question

7．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+3與x軸相交于點A和點B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC，點D是拋物線的頂點，直線AC和BD交于點E．
（1）求點D的坐標；
（2）連接CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）設點M在線段CA的延長線上，如果△EBM和△ABC相似，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據題意求出點C的坐標、點B的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式，根據二次函數的性質求出頂點坐標；
（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠DCB=90°，根據余切的定義計算即可；
（3）運用待定系數法求出直線CA的解析式，設點M的坐標為（x，3x+3），根據相似三角形的性質得到∠ACB=∠BME，根據等腰三角形的性質得到BM=BC，根據勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵已知拋物線y=-x²+bx+3與y軸交于點C，
∴點C的坐標為：（0，3），
∵OB=OC，
∴點B的坐標為：（3，0），
∴-9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）；
（2）如圖1，作DH⊥y軸于H，
則CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3；
（3）-x²+2x+3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
∴點A的坐標為：（-1，0），
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，又$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{DC}{BC}$，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
設直線CA的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則直線CA的解析式為：y=3x+3，
設點M的坐標為（x，3x+3），
則（x-3）²+（3x+3）²=18，
解得，x₁=0（舍去），x₂=-$\frac{6}{5}$，
x₂=-$\frac{6}{5}$時，y=-$\frac{3}{5}$，
∴點M的坐標為（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查的是二次函數的綜合運用、相似三角形的判定和性質，掌握二次函數的性質、待定系數法求函數解析式的一般步驟是解題的關鍵．