Question

11．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是其幾何中心（正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），∠MON=45°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上，ON與DC的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，寫出BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上，ON與CD交于N點(diǎn)，寫出BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，MC=1，求CN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：MN=BM+CN．在CD上取一點(diǎn)G，使得CG=BM，只要證明△OBM≌△OCG，△ONM≌△ONG即可解決問(wèn)題．
（2）結(jié)論：MN=BM-CN．在CD上取一點(diǎn)G，使得CG=BM，只要證明△OBM≌△OCG，△ONM≌△ONG即可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)CN=x，由CM=1，BC=4，推出BM=3．由BM=CN+MN，推出MN=3-x，在Rt△MNC中，根據(jù)MN²=CN²+CM²，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：MN=BM+CN．

理由：在CD上取一點(diǎn)G，使得CG=BM．
在△OBM和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCG}\\{BM=CG}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCG，
∴OM=OG，∠BOM=∠COG，
∵∠MON=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOM+∠CON=∠CON+∠COG=45°，
∴∠NOM=∠NOG=45°，∵ON=ON，
∴△ONM≌△ONG，
∴NM=GN，
∵NG=CN+CG=CN+BM，
∴MN=BM+CN．
（2）結(jié)論：MN=BM-CN．

理由：在CD上取一點(diǎn)G，使得CG=BM．
在△OBM和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCG}\\{BM=CG}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCG，
∴OM=OG，∠BOM=∠COG，
∴∠BOC=∠MOG=90°
∴∠NOM=45°，

∴∠NOG=45°
∴∠NOM=∠NOG，∵ON=ON，
∴△ONM≌△ONG，
∴NM=GN，
∵NG=CG-CN=BM-CN，
∴MN=BM-CN．

（3）設(shè)CN=x，
∵CM=1，BC=4，
∴BM=3．
∵BM=CN+MN，
∴MN=3-x，
在Rt△MNC中，∵M(jìn)N²=CN²+CM²，
∴（3-x）²=x²+1²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴CN=$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．