Question

17．如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB=CD，下列結論：①EG丄FH； ②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG：④四邊形EFGH是菱形，其中正確的結論有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱形，然后根據菱形的對角線互相垂直平分，并且平分每一組對角的性質對各小題進行判斷．

解答 解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD，FG=$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}$CD，HE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正確；
②四邊形EFGH是矩形，錯誤；
③HF平分∠EHG，正確；
④當AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點，
∴連接CD，延長EG到CD上一點N，
∴EN=$\frac{1}{2}$BC，GN=$\frac{1}{2}$AD，
∴EG=$\frac{1}{2}$（BC-AD），只有AD∥BC時才可以成立，而本題AD與BC很顯然不平行，故本小題錯誤；
⑤四邊形EFGH是菱形，正確．
綜上所述，①③⑤共3個正確．
故選：C．

點評 本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質，根據三角形的中位線定理與AB=CD判定四邊形EFGH是菱形是解答本題的關鍵．