Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，點E在對角線BD上，且BE=1.8，連接AE并延長交DC于點F．
（1）求CF的長；
（2）求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BEA}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理求出BD，得到DE的長，根據相似三角形的性質得到比例式，代入計算即可求出DF的長，求出CF的長度；
（2）利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，又AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=3，
∵BE=1.8，
∴DE=3-1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{DF}{\sqrt{3}}$=$\frac{1.2}{1.8}$，
解得，DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則CF=CD-DF=$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BEA，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BEA}}$=（$\frac{DF}{AB}$）²=（$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$）²=$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查的是矩形的性質、相似三角形的判定和性質，掌握矩形的性質定理和相似三角形的判定定理、性質定理是解題的關鍵．