Question

12．如圖，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分別是BC，DE的中點．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若BC=10，DE=6，求△MDE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接ME、MD，由直角三角形的性質可求得DM=EN，則由等腰三角形的性質可證明MN⊥DE；
（2）由條件可求得MD、ND，在Rt△MND中可求得MN，則可求得△MDE的面積．

解答 （1）證明：
連接ME、MD，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵M是BC的中點，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC，
同理可得EM=$\frac{1}{2}$BC，
∴DM=EM，
∵N是DE的中點，
∴MN⊥DE；
（2）解：
∵BC=10，ED=6，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=5，DN=$\frac{1}{2}$DE=3，
由（1）可知∠MND=90°，
∴MN=$\sqrt{M{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△MDE=$\frac{1}{2}$DE•MN=$\frac{1}{2}$×6×4=12

點評 本題主要考查直角三角形和等腰三角形的性質，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DM=EM是解題的關鍵．