Question

3．如圖1，在直角坐標系xOy中，正方形OCBA的頂點A、C分別在y軸、x軸上，點B坐標為（6，6），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B兩點，且3a-b=-1．
（1）請求出二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）如果動點E、F同時分別從點A、點B出發(fā)，分別沿A→B、B→C運動，速度都是每秒1個單位長度，當點E到達終點B時，點E、F隨之停止運動．設運動時間為t秒，△EBF的面積為S．
①試求出S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以E、B、R、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、B的坐標和3a-b=1利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）①運動開始t秒時，EB=6-t，BF=t，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S關于t的函數(shù)關系式，利用配方法即可得出最值問題；
②假設存在，結合①可得出點E、F的坐標，分別以BE、BF、EF為對角線根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點R的坐標，再由點R在拋物線上利用二次函數(shù)圖象上的坐標特征確定點R的坐標，此題得解．

解答 解：（1）已知點A（0，6），B（6，6）在拋物線上，且3a-b=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=c}\\{6=36a+6b+c}\\{3a-b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{9}}\\{b=\frac{2}{3}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+6．
（2）①運動開始t秒時，EB=6-t，BF=t，
S=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（6-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+3t=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$．
當t=3時，S有最大值$\frac{9}{2}$．
②假設存在，當S取得最大值時，由①知t=3，
∴點E（3，6），點F（6，3）．
以E、B、R、F為頂點的四邊形是平行四邊形分三種情況（如圖）：
（i）以BE為對角線時，
∵點B（6，6），點E（3，6），點F（6，3），
∴點R（6+3-6，6+6-3），即（3，9）；
（ii）以BF為對角線時，
∵點B（6，6），點E（3，6），點F（6，3），
∴點R（6+6-3，6+3-6），即（9，3）；
（iii）以EF為對角線時，
∵點B（6，6），點E（3，6），點F（6，3），
∴點R（6+3-6，6+3-6），即（3，3）．
∵點R在拋物線y=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+6上，
∴點R的坐標為（9，3）．
故拋物線上存在點R（9，3），使得四邊形EBRF為平行四邊形．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）①根據(jù)三角形的面積公式找出S關于t的函數(shù)關系式；②利用平行四邊形的性質(zhì)求出點R的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)對角線互相平分結合三個頂點的坐標求出第四個頂點的坐標是關鍵．