Question

15．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（5，0）兩點，直線y=$\frac{3}{4}$x-3與y軸交于點C，與x軸交于點D，點P時第四象限內的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當線段PE的長度最大時，求點P的坐標；
（3）若點E'是點E關于直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E'落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P坐標．

解答 解：（1）將點A、B坐標代入拋物線解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{25+5b+c=0}\end{array}\right.$
，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x-5．

（2）∵點P的橫坐標為m，
∴P（m，m²-4m-5），E（m，$\frac{3}{4}$m+3），
∴PE=|y_P-y_E|=$\frac{3}{4}$m-3-（m²-4m-5）
=-m²+$\frac{19}{4}$m+2
=-（m-$\frac{19}{8}$）²+$\frac{489}{64}$，
當m=$\frac{19}{8}$時，線段PE的長度最大，
m²-4m-5=（$\frac{19}{8}$）²-4×$\frac{19}{8}$-5=-$\frac{343}{64}$，
線段PE的長度最大時，P點坐標為（$\frac{19}{8}$，-$\frac{343}{64}$）；

（3）假設存在．
作出示意圖如下：

∵點E、E′關于直線PC對稱，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．
當四邊形PECE′是菱形存在時，
由直線CD解析式y=-$\frac{3}{4}$x-3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，
∴$\frac{ME}{OD}$=$\frac{CE}{CD}$，即$\frac{|m|}{4}$$\frac{CE}{5}$，解得CE=$\frac{5}{4}$|m|，
∴PE=CE=$\frac{5}{4}$|m|，又由（2）可知：PE=|m²+$\frac{19}{4}$m+2|
∴|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=$\frac{5}{4}$|m|．
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=$\frac{5}{4}$m，整理得：2m²-7m-4=0，解得m=4或m=-$\frac{1}{2}$，
P點坐標為（4，5）（-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$）；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{5}{4}$m，整理得：m²-6m-2=0，解得m₁=3+$\sqrt{11}$，m₂=3-$\sqrt{11}$．
由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=3+$\sqrt{11}$這個解舍去，
P點坐標為（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3）．
當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，
此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，也符合題意，
∴P（0，-5）
綜上所述，存在滿足條件的點P，可求得點P坐標為（0，-5），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$），（4，5），（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3）．

點評 本題是二次函數壓軸題，綜合考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、點的坐標、待定系數法、菱形、相似三角形等多個知識點，重點考查了分類討論思想與方程思想的靈活運用．需要注意的是，為了避免漏解，表示線段長度的代數式均含有絕對值，解方程時需要分類討論、分別計算．