Question

8．下面是按一定規律排列且形式相似的一列數：
第1個數：a₁=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）；
第2個數：a₂=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$]
第3個數：a₃=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]
（1）計算這三個數的結果（直接寫答案）：
a₁=0；a₂=0；a₃=0；
（2）請按上述規律寫出第4個數a₄的形式并計算結果；
（3）請根據上述規律寫出第n （n為正整數）個數a_n的形式（中間部分用省略號，兩端部分必須寫詳細），然后直接寫出計算結果．

Answer 1

分析 （1）直接計算這三個數的結果即可；
（2）仿照已知數列列式即可；
（3）根據題意得a_n=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]•…•[1+$\frac{（-1）^{2n-2}}{2n-1}$][1+$\frac{（-1）^{2n-1}}{2n}$]=0．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-1+$\frac{1}{2}$=0，
a₂=$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
a₃=$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{6}{5}$×$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
故答案為：0，0，0；

（2）a₄=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$][1+$\frac{（-1）^{6}}{7}$][1+$\frac{（-1）^{7}}{8}$]
=$\frac{1}{2}$-（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）（1+$\frac{1}{7}$）（1-$\frac{1}{7}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{6}{5}$×$\frac{5}{6}$×$\frac{8}{7}$×$\frac{7}{8}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$
=0；

（3）a_n=$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$][1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$[1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]•…•[1+$\frac{（-1）^{2n-2}}{2n-1}$][1+$\frac{（-1）^{2n-1}}{2n}$]=0．

點評 本題主要考查數字的變化規律及有理數的混合運算，熟練掌握有理數的混合運算順序和法則及根據題意得出第n個等式是解題的關鍵．