Question

8．已知：如圖，在△ABC中，CB=CA，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線； 
 （2）若BD=1，cosB=$\frac{1}{2}$，求$\widehat{DB}$的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、CD，如圖，利用圓周角定理得到∠BDC=90°，則CD⊥AB，再利用等腰三角形的性質得AD=BD，于是可判斷OD為△CAB的中位線，所以OD∥CA，然后證明DE⊥AC，于是利用切線的判定定理可得到結論；
（2）利用特殊角的三角函數值得到∠B=60°，則△OBD為等邊三角形，所以∠BOD=60°，BD=OB=1，然后根據弧長公式求解．

解答 （1）證明：連接OD、CD，如圖，
∵CD為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵CB=CA，
∴AD=BD，
而BO=CO，
∴OD為△CAB的中位線，
∴OD∥CA，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線； 
（2）解：∵cosB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
而OB=OD，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠BOD=60°，BD=OB=1，
∴$\widehat{DB}$的長=$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了弧長公式和等腰三角形的性質．