Question

15．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關系式分別為y=x和y=-2x+6，動點P（x，0）在OB上移動（0＜x＜3），過點P作直線l與x軸垂直．
（1）求點C的坐標；
（2）若點A（0，1），當x為何值時，AP+CP最小．
（3）設△OBC中位于直線l左側部分的面積為s，寫出s與x之間的函數(shù)關系式；
（4）當x為何值時，直線l平分△OBC的面積？

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩直線解析式，解方程組即可求得C點坐標；
（2）可求得點A關于x軸的對稱點A′坐標，連接A′C交x軸于一點，則該點即為滿足條件的點P，利用待定系數(shù)法可求得直線A′C的解析式，則可求得P點坐標；
（3）過C作CD⊥x軸于點D，當點P在線段OD上時，設直線l交OC于點E，可用x表示出E點坐標，直接用s=$\frac{1}{2}$OP•PE，可求得s與x的函數(shù)關系式，當點P在線段BD上時，設直線l交BC于點F，則可用s=S_△OBC-S_△BPF可求得函數(shù)關系式；
（4）利用（3）的結論，可知當點P在線段OD上時才有直線l平分△OBC的面積，則有s=$\frac{1}{2}$S_△OBC，可求得x的值．

解答 解：
（1）聯(lián)立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C點坐標為（2，2）；
（2）設點A關于x軸的對稱點為A′，
∵A（0，1），
∴A′（0，-1），
如圖1，連接A′C交x軸于點P，

此時PA=PA′，且A′、P、C三點在一條線上，
∴此時PA+PC最小，
設直線A′C解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1.5}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線A′C解析式為y=1.5x-1，
令y=0可得：1.5x-1=0，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴當x=$\frac{2}{3}$時，AP+CP最小；
（3）過C作CD⊥x軸，交x軸于點D，
則OD=CD=2，
當點P在線段OD上時，設直線l交OC于點E，如圖2，

∵P（x，0），
∴E（x，x），
∴OP=PE=x，
∴s=S_△OPE=$\frac{1}{2}$OP•PE=$\frac{1}{2}$x²；
當點P在線段BD上時，設直線l交BC于點F，如圖3，

在y=-2x+6中，令y=0可求得x=3，
∴OB=3，
∵P（x，0），
∴F（x，-2x+6），
∴PF=-2x+6，PB=OB-OP=3-x，
∴s=S_△OBC-S_△BPF=$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$（3-x）（-2x+6）=-x²+6x-6，
綜上可知s=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0≤x≤2）}\\{-{x}^{2}+6x-6（2＜x≤3）}\end{array}\right.$；
（4）由題意可知當直線l平分△OBC的面積時，則點P在線段OD上，即0≤x≤2，
由（3）可知，此時s=$\frac{1}{2}$x²，
∴$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$S_△OBC，即$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×2，解x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴當x=$\sqrt{3}$時，直線l平分△OBC的面積．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)圖象的交點、軸對稱的應用、待定系數(shù)法、三角形的面積及分類討論思想等知識點．在（1）中注意求函數(shù)圖象交點的方法，在（2）中確定出P點的位置是解題的關鍵，在（3）中注意分兩種情況，在（4）中P點所在的位置．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．