Question

15．以C為直角頂點內的兩個等腰直角△CAB和△CDG，E為AB的中點，F為DG的中點．
（1）如圖1，點A，B分別在邊CD，CG上，則FF與AD的數量關系是AD=$\sqrt{2}$EF．
（2）如圖2，點A，B不在邊CD，CG上，（1）中FF與AD的數量關系還成立嗎？請證明你的結論．
（3）如圖3，若A，B，G在同一直線上，且A，C，B，F在同一圓上，求△CDG與△CAB面積之比．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結論：AD=$\sqrt{2}$EF．連接EC，CF．首先證明C、E、F共線，再根據AC=$\sqrt{2}$EC，CD=$\sqrt{2}$CF，可得結論．
（2）結論仍然成立．只要證明△ACD∽△ECF，可得$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AC}{EC}$=$\sqrt{2}$，即可證明．
（3）首先證明BC=BG，設EC=EB=a，則BC=BG=$\sqrt{2}$a，在Rt△ECG中，CG=$\sqrt{E{C}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（a+\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$a，根據$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△CDG}}$=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{\frac{1}{2}C{G}^{2}}$計算即可．

解答 解：（1）如圖1中，結論：AD=$\sqrt{2}$EF．理由如下：

連接EC，CF．
∵∠CAB=∠D=45°，
∴AB∥CD，
∵CA=CB，AE=EB，
∴CE⊥AB，同理CF⊥CD，
∴CF⊥AB，
∴C、E、F共線，
∵△ACE，△DCF是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$EC，CD=$\sqrt{2}$CF，
∴CD-AC=AD=$\sqrt{2}$（CF-CE）=$\sqrt{2}$EF．
∴AD=$\sqrt{2}$EF．

（2）如圖2中，結論仍然成立．理由如下：
連接CE、FC．

∵∠ACE=∠DCF=45°，
∴∠ACD=∠ECF，
∵$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CD}{CF}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACD∽△ECF，
∴$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AC}{EC}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$EF．

（3）如圖3中，

∵EC=EF，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠CEG=∠CFG=90°，
∴點C、E、F、G四點共圓，
∴∠EFC=∠CGB，
∵∠ACD=∠ECF=∠BCG，
∴∠BCG=∠BGC，
∴BC=BG，設EC=EB=a，則BC=BG=$\sqrt{2}$a，
在Rt△ECG中，CG=$\sqrt{E{C}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（a+\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$a，
∴$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△CDG}}$=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{\frac{1}{2}C{G}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{（4+2\sqrt{2}）{a}^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、四點共圓等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，構造相似三角形，屬于中考壓軸題．