Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式和頂點D的坐標；
（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）根據條件可設兩點式，把C的坐標代入可求得解析式，可求得頂點坐標；
（2）由勾股定理可分別求得BC²、BD²、DC²，再根據勾股定理的逆定理可判定△BCD為直角三角形．

解答： 解：
（1）∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，
∴設拋物線為y=a（x+1）（x-3），
又過點C（0，-3），
∴-3=-3a，解得a=1，
∴y=x²-2x-3，
其對稱軸為x=1，當x=1時，y=-4，
∴D點坐標為（1，-4）；
（2）是直角三角，理由如下：
由題意可知OB=3，OC=3，
∴BC²=18，
DC²=1²+1²=2，
BD²=4²+（3-1）²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD為直角三角形．

點評：本題主要考查待定系數法求函數解析式及勾股定理及逆定理的應用，掌握二次函數的三種表達式是解題的關鍵，即①一般式，②兩點式，③頂點式，在解題時注意靈活選擇．