Question

8．頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形（即：點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)），如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD是三角形ABC的角平分線，那么AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC=∠C=72°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABD=∠CBD=36°，易得AD=BC=BD，然后證明△ABC∽△BCD，利用相似得性質(zhì)得AC：BC=BC：CD，則AC：AD=AD：CD，于是根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得到點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，易得AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

解答 解：∵AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC=BD，
∵∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)． 其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．