Question

19．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線于F，E為垂足．則結(jié)論：（1）AD=BF；（2）CF=CD；（3）AC+CD=AB；（4）BE=CF；（5）BF=2BE，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正確．只要證明△ADC≌△BFC，即可推出AD=BF；
②正確．由△ADC≌Rt△BFC可直接得出結(jié)論；
③正確．只要證明∠ABF=∠F=67.5°，即可推出AF=AB，即AC+CD=AB；
④錯誤．由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=$\frac{1}{2}$BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF；
⑤正確．由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解答．

解答 解：①∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，
∵∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，
∴∠EAF=∠FBC，
在△ACD與△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠DAC=∠FBC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF，故①正確；
②∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，故②正確；
③∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，
∵∠CBF=∠EAF=22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴AF=AB，即AC+CD=AB，故③正確；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BF，
∵在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，
故BE≠CF，故④錯誤；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF=2BE，故⑤正確．
所以①②③⑤四項正確．
故選D．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確尋找全等三角形是解答此題的關(guān)鍵，學(xué)會通過計算證明角相等，屬于中考�？碱}型．