Question

已知：⊙O的直徑為3，線段AC=4，直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M．
（1）求證：點P是線段AC的中點；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結OM，根據切線的性質得OM⊥MP，BA⊥AC，根據切線長定理得PM=PA，則∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，則PA=PC；
（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根據勾股定理計算出BC=5，然后根據正弦的定義得到sin∠C==，于是得到sin∠PMC的值．
解答：（1）證明：連結OM，如圖，
∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點A，M，
∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，
而∠2=∠B，
∴∠1=∠C，
∴PC=PM，
∴PA=PC，
∴點P是線段AC的中點；

（2）解：由（1）∠PMC=∠C，
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴sin∠C==，
即sin∠PMC=．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了切線長定理、勾股定理以及解直角三角形．