Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M過原點O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點C為劣弧AO的中點，連接AC并延長到D，使DC=4CA，連接BD．

（1）求⊙M的半徑；

（2）證明：BD為⊙M的切線；

（3）在直線MC上找一點P，使|DP﹣AP|最大．

 

 

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）取點A關于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，此P點為所求，且線段DO的長為|DP﹣AP|的最大值，為．

【解析】

試題分析：（1）利用A，B點坐標得出AO，BO的長，進而得出AB的長，即可得出圓的半徑．

（2）根據B，D 兩點求出直線BD表達式，求出BD與與 x 軸交點Q的坐標，從而求出AB，QA，BQ的長，根據勾股定理逆定理得出BD⊥AB，求出BD為⊙M的切線．

（3）取點A關于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，此P點為所求，且線段DO的長為|DP﹣AP|的最大值．根據D，O兩點求出直線DO表達式為y=x， 又在直線 DO 上的點P的橫坐標為2，所以 p（2，），此時|DP﹣AP|=DO=．

試題解析：【解析】
（1）∵由題意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圓的半徑為．

（2）證明：由題意可得出：M（2，）．

∵C為劣弧AO的中點，由垂徑定理且 MC=，故 C（2，﹣1）．

如答圖1，過 D 作 DH⊥x 軸于 H，設 MC 與 x 軸交于 N，

則△ACN∽△ADH，

又∵DC=4AC，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D（﹣6，﹣5）．

設直線BD表達式為：y=ax+b，

則，解得：．∴直線BD表達式為：y=x+3．

設 BD 與 x 軸交于Q，則Q（）．∴OQ=．∴．

∵，∴．∴△ABQ是直角三角形，即∠ABQ=90°．

∴BD⊥AB，BD為⊙M的切線．

（3）如答圖2，取點A關于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，此P點為所求，且線段DO的長為|DP﹣AP|的最大值．

設直線DO表達式為 y=kx，

∴﹣5=﹣6k，解得：k=．

∴直線DO表達式為 y=x

又∵在直線DO上的點P的橫坐標為2，∴y=．∴P（2，）．此時|DP﹣AP|=DO=．

考點：1．圓的綜合題；2．勾股定理和逆定理；3．垂徑定理；4．相似三角形的判定和性質；5．待定系數法的應用；6．直線上點的坐標與方程的關系；7．切線的判定；8．軸對稱的應用（最短線路問題）．