Question

6．如圖，AC，BD交于點E，AC⊥BD，BE=EC，∠B=∠C，過E作EG⊥DC，垂足為G，交AB于F點．
求證：（1）△ABE≌△DCE；
（2）F為AB的中點．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據余角的性質得到∠D=∠GEC，根據全等三角形的性質得到∠D=∠A，等量代換得到∠A=∠AEF，求得AF=EF，根據等腰三角形的性質得到EF=BF，于是得到結論．

解答 證明：（1）在△ABE與△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠AEB=90°}\\{∠C=∠B}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE；
（2）∵EG⊥DC，AC⊥BD，
∴∠DGE=∠DEC=90°，
∴∠D+∠DEG=∠DEG+∠GEC=90°，
∴∠D=∠GEC，
∵△ABE≌△DCE，
∴∠D=∠A，
∵∠AEF=∠GEC，
∴∠A=∠AEF，
∴AF=EF，
∵∠A+B=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠B=∠BEF，
∴EF=BF，
∴AF=BF，
∴F為AB的中點．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．