Question

16．如圖，已知平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A（3，0），與反比例函數在第三象限內的圖象交于點B（-1，a），連接BO，若S_△AOB=3．
（1）求該反比例函數的解析式和直線AB的解析式；
（2）若直線AB與y軸的交點為C點，求S_△OCB的面積．

Answer 1

分析 （1）先由A（3，0），得OA=3，點B（-1，a），S_△AOB=3，得$\frac{1}{2}$OA•a=3，a=-2，則點B的坐標是（-1，-2），把點B坐標代入反比例函數的解析式，根據待定系數法可得反比例函數的解析式；然后再把A、B坐標代入直線AB的解析式為y=kx+b根據待定系數法可得直線AB的解析式．
（2）把x=0代入直線AB的解析式求得與y軸的交點，求得OC，然后根據三角形面積公式求得即可．

解答 解：（1）由A（3，0），得OA=3；
∵點B（-1，a）在第三象限內，S_△AOB=3，
∴$\frac{1}{2}$OA•a=3；
∴a=-2；
∴點B的坐標是（-1，-2）；
設該反比例函數的解析式為y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
將點B的坐標代入，得-2=$\frac{m}{-1}$，
∴m=2；
∴反比例函數的解析式為：y=$\frac{2}{x}$；
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將點A，B的坐標分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；

（2）在y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$中，令x=0，得y=-$\frac{3}{2}$．
∴點C的坐標是（0，-$\frac{3}{2}$），
∴OC=$\frac{3}{2}$；
∴S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC×1=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．此題有點難度．