Question

11．如圖，矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，在線段AC上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在BC邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，動點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，在DA邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜2）．
（1）若△CDE與△ADC相似，求t的值．
（2）連接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值；
（3）當(dāng)PQ長度取得最小值時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得CD²=DE•DA，即36=4t×8，解方程即可．
（2）如圖1中，作PM⊥BC于M．由△PMB∽△QBA，得$\frac{PM}{QB}$=$\frac{BM}{AB}$，由CP=5t，CM=4t，PM=3t，可得方程$\frac{3t}{4t}$=$\frac{8-4t}{6}$，解方程即可．
（3）根據(jù)PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}-（8-8t）^{2}}$=$\sqrt{73{t}^{2}-128t+64}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）∵0＜t＜2，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，
∵△CDE與△ADC相似，
∴∠DCE=∠DAC，
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{DE}{CD}$，
CD²=DE•DA，即36=4t×8，
解得t=$\frac{9}{8}$s．

（2）如圖1，

∵DE=BQ=4t，AD=BC，AD∥BC
∴AE=CQ，AE∥CQ，
∴四邊形AECQ為平行四邊形，
∴CE∥AQ，過點(diǎn)P做PM⊥CB于點(diǎn)M，
∵BP⊥CE，CE∥AQ，
∴BP⊥AQ，
∴∠ABP+∠PBM=90°，∠BAQ+∠PBA=90°，
∴∠BAQ=∠PBM，∵∠ABQ=∠PMB=90°．
∴△PMB∽△QBA，
∴$\frac{PM}{QB}$=$\frac{BM}{AB}$，
∵CP=5t，CM=4t，PM=3t，
∴$\frac{3t}{4t}$=$\frac{8-4t}{6}$，
所以t=$\frac{7}{8}$s．

（3）如圖2，

在Rt△PMQ中，PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}-（8-8t）^{2}}$=$\sqrt{73{t}^{2}-128t+64}$，
所以當(dāng)t=-$\frac{-128}{2×73}$=$\frac{64}{73}$s時，PQ可以取得最小值．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．