Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx經過點A（4，0）．直線x=2與x軸交于點C，點E是直線x=2上的一個動點，過線段CE的中點G作DF⊥CE交拋物線于D、F兩點．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）當點E落在拋物線頂點上時，求DF的長．
（3）設點E坐標為（2，2m）且m＞0，當四邊形CDEF是正方形時，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點的坐標代入拋物線的解析式，求出b的值即可得到拋物線的解析式；
（2）根據題意先求出G的縱坐標，代入拋物線的解析式可求出F和D的橫坐標，進而可求出DF的長；
（3）由四邊形CDEF是正方形，E（2，2m），則F（2-m，m），把F點的坐標代入解析式即可求出m的值，進而可求出點E的坐標．

解答 解：（1）把（4，0）代入y=-x²+bx中，得b=4．
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+4x．           

（2）由（1）可知拋物線的頂點坐標為（2，4）．      
∵G是EC的中點，
∴當y=2時，-x²+4x=2．
∴x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，．                  
∴DF=2+$\sqrt{2}$-（2-$\sqrt{2}$）=2 $\sqrt{2}$．                   

（3）由題意E（2，2m），則F（2-m，m）．                
∵點F在拋物線上，
∴m=-（2-m）²+4（2-m）．
∴m=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$，2m=-1±$\sqrt{17}$．             
∴E₁（2，-1+$\sqrt{17}$），E₂=（2，-1-$\sqrt{17}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、一元二次方程、正方形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法，學會用方程的思想思考問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考常考題型．