Question

14．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過3秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；
（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）求出BP、CQ、CP，根據全等三角形的判定推出即可；
（2）設當點Q的運動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=t厘米，CP=（8-t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根據全等三角形的性質得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）全等，理由如下：
∵點P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點向C點運動，
∴BP=t厘米，
∵BC=8厘米，
∴CP=（8-t）厘米；
∵AB=AC=10厘米，點D為AB的中點，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△BPD和△CQP1中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）設當點Q的運動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=t厘米，CP=（8-t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴當BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ時，△BPD與△CQP全等，
即①t=xt，5=8-t，
解得：x=1（不合題意，舍去），
②t=8-t，5=xt，
解得：x=4，
即當點Q的運動速度為4厘米/時，能夠使△BPD與△CQP全等．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分類討論思想．