Question

18．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA長為半徑作半圓，交AC于點D，點E為BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是該半圓的切線；
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、OE，由條件可證明△BOE≌△DOE，可證得∠ODE=90°，可證得結論；
（2）利用（1）的結論可求得BE，則可求得OB，在Rt△ABD中利用直角三角形的性質可求得AD的長．

解答 （1）證明：
連結OD、OE，如圖，
∵點D、E分別是AC、BC的中點，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠A，∠DOE=∠ADO，
∵∠ODA=∠OAD，
∴∠BOE=∠DOE，
在△BOE和△DOE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DE}\\{∠BOE=∠DOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠OBE=∠ODE，
∵∠OBE=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是圓O的切線；
（2）∵∠BOE=∠A=30°，BE=DE=2，
∴OB=OA=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$
在Rt△BAD中，∠A=30°，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∴AD=6．

點評 本題主要考查切線的性質，構造直角三角形全等是解題的關鍵，注意直角三角形性質的運用．