Question

10．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+1與y軸交于點C，點A（0，-$\frac{1}{2}$），點B（1，0），直線AB與拋物線相交于點D，點E位于第一象限內，且在直線AD上方（不含點D）的拋物線上，連結EA、EB．
（1）如圖1，若點C關于拋物線對稱軸的對稱點是點D．
①求拋物線的解析式；
②設所得△ABE的面積為S，求S的取值范圍．
（2）如圖2，若點D的坐標為（-1，-1），連結CD、CB，記拋物線與x軸的交點為F，問：是否存在這樣的點E，使得tan∠BDC×tan∠EBF=1？，若存在，請求出滿足條件的點E的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據拋物線的對稱軸x=$\frac{3}{2}$b及C（0，1）得點D的坐標為（3b，1），求出直線AB解析式，將點D坐標代入可得b的值；
②設過點E且與AB平行的直線為y=$\frac{1}{2}$x+k，當此直線與拋物線只有一個公共點時面積最大，即-$\frac{1}{3}$x²+x+1=$\frac{1}{2}$x+k只有一個實數根，從而求得k的值，即可知此直線與x軸的交點，結合直線的斜率得出△ABE的高，根據三角形的面積公式可得最大值，從而知S的范圍；
（2）由點D（-1，-1）求得拋物線解析式，根據△DCB的面積得出C到直線AB的距離，從而知sin∠BDC=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$、tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，根據tan∠BDC×tan∠EBF=1知tan∠EBF=$\frac{4}{3}$，設E（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x+1），有$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+1}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，解之可得．

解答 解：（1）①∵拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$b，且與y軸的交點C（0，1），
∴點D的坐標為（3b，1），
∵A（0，$\frac{1}{2}$）、B（1，0），
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
將點D（3b，1）代入得：1=$\frac{3}{2}$b-$\frac{1}{2}$，
解得：b=1，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+x+1；
②設過點E且與AB平行的直線為y=$\frac{1}{2}$x+k，
當此直線與拋物線只有一個公共點時面積最大，
∴-$\frac{1}{3}$x²+x+1=$\frac{1}{2}$x+k，即-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{2}$x+k-1=0，
由△=0可得$\frac{1}{4}$-$\frac{4}{3}$（k-1）=0，解得：k=$\frac{19}{16}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{19}{16}$，與x軸的交點為（-$\frac{19}{8}$，0），
∴△ABE的高為（$\frac{19}{8}$+1）sin∠ABO=$\frac{27}{8}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S的最大值為$\frac{1}{2}$×$\frac{27}{8}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{27}{32}$，
∴0＜S＜$\frac{27}{32}$．

（2）將D（-1，-1）代入y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+1，得：b=$\frac{5}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x+1，

∵△DCB的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∴C到直線AB的距離為$\frac{\frac{3}{2}×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠BDC=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，
∵tan∠BDC×tan∠EBF=1，
∴tan∠EBF=$\frac{4}{3}$，
設E（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x+1），
∴$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+1}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，
解得：x=$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{29}}{2}$（舍），
∴點E的橫坐標為$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握待定系數法求函數解析式、三角形的面積、三角函數的應用及點到直線的距離、平行線間的距離是解題的關鍵．