Question

2．如圖，拋物線y=-x²+bx+c經過A（-1，0），C（0，3）兩點，點B是拋物線與x 軸的另一個交點，作直線BC．點M是拋物線上一動點，過點M作MD⊥x軸，垂足為點D，交直線BC于點N，連結CM．設點M的橫坐標為m，MN的長度為d．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當0＜m＜3時，求d關于m的函數關系式，并求出d的最大值；
（3）當0＜m＜3時，若△CMN是等腰直角三角形，請求出m的值．

Answer 1

分析 （1）把A、C坐標代入可求得拋物線解析式；
（2）先求得直線BC解析式，則可用m表示出N點坐標，則可求得d關于m的函數關系式，再利用函數的性質可求得d的最大值；
（3）由B、C坐標可知OB=OC，可知∠CNM=45°，故當△CMN是等腰直角三角形時有∠CMN=90°或∠MCN=90°，①當∠CMN=90°時，則可知CM∥x軸，可求得M點的縱坐標，則可求得m的值；②當∠MCN=90°時，則C到MN的距離等于MN的一半，利用（2）的函數關系式可得到關于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過A（-1，0），C（0，3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0可得0=-x²+2x+3，解得x=-1或x=3，
∴B（3，0），且C（0，3），
∴直線BC解析式為y=-x+3，
設M點橫坐標為m，則M（m，-m²+2m+3），N（m，-m+3），
∵0＜m＜3，
∴點M在第一象限內，
∴d=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，d有最大值，d最大=$\frac{9}{4}$；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴∠CNM=45°，
∴當△CMN是等腰直角三角形時有∠CMN=90°或∠MCN=90°，
①當∠CMN=90°時，如圖1，

則可知CM∥x軸，
∴M點的縱坐標為3，即-m²+2m+3=3，解得m=0（舍去）或m=2；
②當∠MCN=90°時，如圖2，

過C作CE⊥MN于點E，則MN=2CE，
即-m²+3m=2m，解得m=0（舍去）或m=1，
綜上可知m的值為1或2．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的最值、等腰直角三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中用m表示出MN的長是解題的關鍵，在（3）中確定出M的位置是解題的關鍵，注意方程的應用．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．