Question

如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，

連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求弦BD的長；

（3）求圖中陰影部分的面積．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6；（3）6π．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四邊形ABDC為平行四邊形，則∠A=∠D=30°，由圓周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由內角和定理可求∠OCA=90°，證明切線..

（2）由（1）中的切線的性質和垂徑定理以及解直角三角形來求BD的長度.

（3）證明△OEB≌△CED，將陰影部分面積問題轉化為求扇形OBC的面積求解．

試題解析：【解析】
（1）證明：如答圖，連接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°.

∵∠CDB=∠OBD，∴CD∥AB.

又∵AC∥BD，∴四邊形ABDC為平行四邊形.

∴∠A=∠D=30°.

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.

又∵OC是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線.

（2）由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，∴OC⊥BD. ∴BE=DE.

∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，∴BE=OBcos30°=3.∴BD=2BE=6.

（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，

∴△OEB≌△CED（AAS）.∴S陰影=S扇形BOC.

∴S陰影=．

答：陰影部分的面積是6π．

考點：1.圓周角定理；2.平行的判定；3. 平行四邊形的判定和性質；4.三角形內角和定理；5.切線的判定和性質；6.垂徑定理；7. 特殊角的三角函數值；8.負整數指數冪；9.扇形面積的計算；10.轉換思想和數形結合思想的應用．