Question

19．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為S₁；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為S₂．
（1）用含a、b的代數式分別表示S₁、S₂；
（2）若a+b=10，ab=23，求S₁+S₂的值；
（3）當S₁+S₂=29時，求出圖3中陰影部分的面積S₃．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的面積之間的關系，即可用含a、b的代數式分別表示S₁、S₂；
（2）根據S₁+S₂=a²-b²+2b²-ab=a²+b²-ab，將a+b=10，ab=23代入進行計算即可；
（3）根據S₃=$\frac{1}{2}$（a²+b²-ab），S₁+S₂=a²+b²-ab=29，即可得到陰影部分的面積S₃．

解答 解：（1）由圖可得，S₁=a²-b²，S₂=2b²-ab；

（2）S₁+S₂=a²-b²+2b²-ab=a²+b²-ab，
∵a+b=10，ab=23，
∴S₁+S₂=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=100-3×23=31；

（3）由圖可得，S₃=a²+b²-$\frac{1}{2}$b（a+b）-$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$（a²+b²-ab），
∵S₁+S₂=a²+b²-ab=29，
∴S₃=$\frac{1}{2}$×29=$\frac{29}{2}$．

點評 本題主要考查了完全平方公式的幾何背景的應用，解決問題的關鍵是根據圖形之間的面積關系進行推導計算．