Question

8．如圖，某水庫上游有一單孔拋物線型拱橋，它的跨度AB為100米．最低水位（與AB在同一平面）時橋面CD距離水面25米，橋拱兩端有兩根25米高的水泥柱BC和AD，中間等距離豎立9根鋼柱支撐橋面，拱頂正上方的鋼柱EF長5米．
（1）建立適當的直角坐標系，求拋物線型橋拱的解析式；
（2）在最低水位時，能并排通過兩艘寬28米，高16米的游輪嗎？（假設兩游輪之間的安全間距為4米）
（3）由于下游水庫蓄水及雨季影響導致水位上漲，水位最高時比最低水位高出13米，請問最高水位時沒在水面以下的鋼柱總長為多少米？

Answer 1

分析 （1）如圖，以AB為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系．則A、B、F的坐標分別是（-50，0），（50，0），（0，20）．設拋物線的解析式為y=ax²+20，將B的坐標代入求出a即可．
（2）求出x=30時的函數值，即可判斷．函數值大于等于16可以通過，函數值小于16不能通過．
（3）求出x=±30，±20，±40的函數值，即可判斷．

解答 解：（1）如圖，以AB為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系．

則A、B、F的坐標分別是（-50，0），（50，0），（0，20）．
設拋物線的解析式為y=ax²+20，
將B的坐標代入得：a=-$\frac{1}{125}$，
∴拋物線的表達式是y=-$\frac{1}{125}$x²+20，

（2）把x=28+2=30代入解析式，y=-$\frac{1}{125}$x²+20=-$\frac{1}{125}$×30²+20=12.8，
∵12.8＜16∴不能并列通過兩艘游輪．

（3）由（2）得，當x=±30時，y=12.8，
又∵當x=±20時，y=-$\frac{1}{125}$×20²+20=16.8＞13，
∴水面只能沒過最左邊和最右邊各兩根鋼柱．
∵當x=±40時，y=-$\frac{1}{125}$×40²=20=7.2，
∴沒在水面下的立柱總長為2（13-7.2）+13-12.8）=12米．

點評 本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，由自變量的值求函數值的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．