Question

10．已知∠AOD=150°．
（Ⅰ）如圖1，∠AOC=∠BOD=90°，
①∠BOC的余角是∠AOB和∠COD，
比較∠AOB=∠COD（填＞，=或＜），
理由：同角的余角相等；
②求∠BOC=30°；
（Ⅱ）如圖2，已知∠AOB與∠BOC互為余角，
①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度數；
②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度數．

Answer 1

分析 （I）①根據余角定義可得∠BOC的余角；利用同角的余角相等可得∠AOB=∠COD；
②首先計算出∠COD的度數，再根據余角定義可得∠BOC的度數；
（II）①根據余角定義可得∠AOC=90°，然后根據角平分線定義可得∠AOB的度數，再根據角的和差關系可得答案；
②首先計算出∠DOC的度數，然后再設∠BOC=x°，則∠DOC=4x°，進而可得4x=60，解方程即可．

解答 解：（I）①∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°，
∴∠BOC的余角是∠AOB和∠COD，
故答案為：∠AOB和∠COD；

∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等），
故答案為：=；同角的余角相等；

②∵∠AOD=150°，∠AOC=90°，
∴∠DOC=60°，
∵∠BOD=90°，
∴∠BOC=30°，
故答案為：30°；

（II）①∵∠AOB與∠BOC互為余角，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，
∵BO平分∠AOD，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}×$150°=75°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-75°=15°；

②∵∠AOB與∠BOC互為余角，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，
∵∠DOC=∠AOD-∠AOC=150°-90°=60°，
∵∠DOC是∠BOC的4倍，
∴設∠BOC=x°，則∠DOC=4x°，
∴4x=60，
x=15，
則∠BOC=15°．

點評 此題主要考查了角的計算以及余角定義，關鍵是理清圖中角之間的關系，掌握兩角和為90°為互余．