Question

16．如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，AB是⊙O₂的直徑，過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點E，并與BO₁的延長線交于點P，BP分別與⊙O₁、⊙O₂交于點C、D．求證：
（1）AC∥ED；
（2）AD=AE．

Answer 1

分析 （1）根據弦切角定理得到∠ACB=∠EAB，由圓周角定理得到∠EDB=∠EAB，根據平行線的判定定理證明；
（2）根據圓周角定理得到∠CAB=90°，根據平行線的性質得到AB⊥DE，根據垂徑定理證明即可．

解答 證明：（1）∵AE是⊙O₁的切線，
∴∠ACB=∠EAB，
由圓周角定理得，∠EDB=∠EAB，
∴∠EDB=∠ACB，
∴AC∥ED；
（2）∵BC是⊙O₁的直徑，
∴∠CAB=90°，
∵AC∥ED，
∴AB⊥DE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AE}$，
∴AD=AE．

點評 本題考查的是相交兩圓的性質、切線的性質，掌握弦切角定理、圓周角定理和切線的性質定理是解題的關鍵．