Question

如圖①是一張矩形紙片ABCD, AB=5， BC=1,在邊AB上取一點M，在邊CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK，如圖②所示.

   

(1)若∠1=70°，求∠MKN的度數；

(2) △MNK的面積能否小于  ?若能，求出此時∠1的度數，若不能說明理由；

(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大?請你畫圖探究可能出現的情況，求出最大值.

Answer 1

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AM∥DN．

∴∠KNM=∠1．

∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，

∴∠MKN=40°．

(2)不能．如圖，

過M點作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1．

∵∠KNM=∠KMN，

∴MK=NK，

又∵MK≥ME，

∴NK≥1．

∴△MNK的面積= NK•ME≥ ．

∴△MNK的面積不可能小于．

(3)分兩種情況：

情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合．

MK=MB=x，則AM=5-x．

由勾股定理得1 2+(5-x) 2=x 2，

解得x=2.6．

∴MD=ND=2.6．

S △MNK=S △MND= =1.3．

情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC．

MK=AK=CK=x，則DK=5-x．

同理可得MK=NK=2.6．

∵MD=1，

∴S △MNK= =1.3．

△MNK的面積最大值為1.3．

【解析】

本題考查矩形的性質、軸對稱變換以及勾股定理的運用.

(1)根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM，∠KMN的度數，根據三角形內角和即可求解；

(2)過M點作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK＞1，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于 ；

(3)分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．