Question

20．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=18cm，AF=12cm，AC=16cm，動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t．
（1）求$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$的值；
（2）求證：在運動過程中，無論t取何值，都有$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=2；
（3）當t取何值時，△DFE≌△DMG．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的性質，得出DF=DM，再根據S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DM，即可得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$的值；
（2）根據動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，可得AE=2t，CG=t，而DF=DM，再根據$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•DF}{\frac{1}{2}CG•DM}$進行計算求解即可；
（3）分兩種情況進行討論：①當點G在線段CM上時，②當點G在線段MA上時，分別根據△DFE≌△DMG，得出EF=GM，據此列出關于t的方程，進行求解即可．

解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DM⊥AC
∴DF=DM，
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DM，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{18}{16}$=$\frac{9}{8}$；

（2）證明：∵動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，
∴AE=2t，CG=t，而DF=DM，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•DF}{\frac{1}{2}CG•DM}$=$\frac{AE}{CG}$=$\frac{2t}{t}$=2；

（3）①如圖1，當點G在線段CM上時，

EF=AF-AE=12-2t，AM=AF=12，GM=CM-CG=（16-12）-t=4-t，
∵△DFE≌△DMG，
∴EF=GM，
∴12-2t=4-t，
∴t=8（舍去）；

②如圖2，當點G在線段MA上時，

EF=AF-AE=12-2t，GM=CG-CM=t-4，
∵△DFE≌△DMG，
∴EF=GM，
∴12-2t=t-4，
∴t=$\frac{16}{3}$，
綜上所述：t=$\frac{16}{3}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了角平分線的性質，全等三角形的性質，三角形的面積計算以及解一元一次方程的運用．解決問題的關鍵是掌握：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，解題時注意運用全等三角形的對應邊相等列出方程．