Question

1．如圖1，將一個量角器與一張等邊三角形（△ABC）紙片放置成軸對稱圖形，CD⊥AB，垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點D重合，此時，測得頂點C到量角器最高點的距離CE=2cm，將量角器沿DC方向平移1cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC，BC相切，如圖2，則AB的長為2$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 如圖，設圖②中半圓的圓心為O，與BC的切點為M，連接OM，根據切線的性質可以得到∠OMC=90°，而根據已知條件可以得到∠DCB=30°，設AB為2xcm，根據等邊三角形得到CD=$\sqrt{3}$xcm，而CE=2cm，又將量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圓的半徑為（$\sqrt{3}$x-2）cm，OC=（$\sqrt{3}$x-1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函數可以列出關于x的方程，解方程即可求解．

解答 解：如圖，設圖②中半圓的圓心為O，與BC的切點為M，
連接OM，
則OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依題意知道∠DCB=30°，
設AB為2xcm，
∵△ABC是等邊三角形，
∴CD=$\sqrt{3}$xcm，
而CE=2cm，又將量角器沿DC方向平移1cm，
∴半圓的半徑為（$\sqrt{3}$x-2）cm，OC=（$\sqrt{3}$x-1）cm，
∴sin∠DCB=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x-2}{\sqrt{3}x-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴AB=2x=2$\sqrt{3}$（cm），
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．