Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點A在y軸上.

（1）求過A、D、C三點的拋物線的解析式；

（2）求△ADC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)，并求⊙M的半徑；

（3）E為拋物線對稱軸上一點，F(xiàn)為y軸上一點，求當(dāng)ED＋EC＋FD＋FC最小時，EF的長；

（4）設(shè)Q為射線CB上任意一點，點P為對稱軸左側(cè)拋物線上任意一點，問是否存在這樣的點P、Q，使得以P、Q、C為頂點的三角形與△ADC相似？若存在，直接寫出點P、Q的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由.

Answer 1

（1）由題意知C（3，0）、A（0，3）．

如圖1，過D作x軸垂線，由矩形性質(zhì)得D（2，3）．

由拋物線的對稱性可知拋物線與x軸另一交點為（﹣1，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．

將（0，3）代入得a=﹣1，所以．

（2）由外接圓知識知M為對稱軸與AC中垂線的交點．

由等腰直角三角形性質(zhì)得OM平分∠AOC，即yOM=x，

∴M（1，1）．

連MC得MC=，即半徑為．

（3）如圖2，

由對稱性可知：當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時，E為對稱軸與AC交點，F(xiàn)為BD與y軸交點，

∵∠B=45°，∠AOB=90°，

∴AO=BO=3，故B點坐標(biāo)為：（﹣3，0），

再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：

，

解得：，

故BD直線解析式為：，

當(dāng)x=0，y=，根據(jù)對稱軸為直線x=1，則y=2，

故F（0，）、E（1，2），

EF===．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．

假設(shè)存在，顯然∠QCP＜90°，則∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．

如圖3，

當(dāng)∠QCP=45°時，OR=OC=3，

則R點坐標(biāo)為（0，﹣3），將C，R代入y=ax+b得出：

，

解得：，

這時直線CP的解析式為y=x﹣3，同理可得另一解析式為：y=﹣x+3．

當(dāng)直線CP的解析式為y=x﹣3時，

則，

解得：，

可求得P（﹣2，﹣5），

故PC==．

設(shè)CQ=x，則，

解得：x=或x=15．

∴Q （，0）或（﹣12，0）．

當(dāng)y=﹣x+3即P與A重合時，CQ=y，則=，

即=，或=，

解得CQ=2或9，

故Q （1，0）或（﹣6，0）．

如圖4，

當(dāng)∠QCP=∠ACD時，設(shè)CP交y軸于H，連接ED，則ED⊥AC，

∴DE=，EC=，

易證：△CDE∽△CHQ，

所以=，

∴HO=．

可求HC的解析式為．

聯(lián)解，

得P，PC=．

設(shè)CQ=x，知，

∴x=或x=，

∴Q或．

同理當(dāng)H在y軸正半軸上時，HC的解析式為．

∴P’ ，

∴PC=

∴，

∴CQ=或，所以Q或．

綜上所述，P1（﹣2，﹣5）、Q1（，0）或（﹣12，0）；P2（0，3）、Q2（1，0）或（﹣6，0）；P3、Q3或；P4、Q4或．

【解析】

試題分析：（1）過D作x軸垂線，由拋物線的對稱性可知拋物線與x軸另一交點為（﹣1，0）．再根據(jù)交點式即可求出過A、D、C三點的拋物線的解析式；

（2）由外接圓知識知M為對稱軸與AC中垂線的交點．由等腰直角三角形性質(zhì)可得M點的坐標(biāo)，連MC得MC=，即為半徑；

（3）由對稱性可知：當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時，E為對稱軸與AC交點，F(xiàn)為BD與y軸交點，再根據(jù)待定系數(shù)法求出BD直線解析式，從而得到E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點坐標(biāo)公式即可求得EF的長；

（4）先求出直線CP的解析式為y=x﹣3或y=﹣x+3，再分情況討論求得以P、Q、C為頂點的三角形與△ADC相似時點P、Q的坐標(biāo)

考點：二次函數(shù)綜合題