Question

5．已知：如圖1，一次函數(shù)y=mx+5m的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與函數(shù)y=-x的圖象交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-3．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)Q為直線OC上一點(diǎn)，且S_△QAC=3S_△AOC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D為線段OA上一點(diǎn)，∠ACD=∠AOC，點(diǎn)P為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線CD和直線CO的距離相等．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式，求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求得m的值，則易求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由S_△QAC=3S_△AOC得到點(diǎn)Q到x軸的距離是點(diǎn)C到x軸距離的3倍或點(diǎn)Q到x軸的距離是點(diǎn)C到x軸距離的2倍；
（3）利用△CAO∽△DAC，求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出CD解析式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出公式，$\frac{|5a+0+12|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，解出a的值即可．

解答 解：（1）把x=-3代入y=-x得到：y=3．則C（-3，3）．
將其代入y=mx+5m，得
3=-3m+5m，
解得 m=$\frac{3}{2}$．
則該直線方程為：y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$．
令x=0，則y=$\frac{15}{2}$，
即B（0，$\frac{15}{2}$）；

（2）由（1）知，C（-3，3）．
如圖1，設(shè)Q（a，-a）．
∵S_△QAC=3S_△AOC，
∴S_△QAO=4S_△AOC，或S_△Q′AO=2S_△AOC，
①當(dāng)S_△QAO=4S_△AOC時(shí)，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=4×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=4y_C，即|-a|=4×3=12，
解得 a=-12（舍去正值），
∴Q（-12，8）；
②當(dāng)S_△Q′AO=2S_△AOC時(shí)，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=2×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=2y_C，即|-a|=2×3=6，
解得 a=6（舍去負(fù)值），
∴Q′（6，-4）；
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-12，8）或（6，-4）；

（3）∵直線方程為：y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$，令y=0，解得x=-5，
∴A（-5，0），
∵C（-3，3），
∴AC=$\sqrt{（-3+5）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，
∴△CAO∽△DAC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AO}$，即$\frac{AD}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$，
∴AD=$\frac{13}{5}$，
∴OD=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$，
則D（-$\frac{12}{5}$，0）．
設(shè)CD解析式為y=kx+b，
把C（-3，3），D（-$\frac{12}{5}$，0）分別代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-\frac{12}{5}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y=-5x-12，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，$\frac{|5a+0+12|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
兩邊平方得，（5a+12）²=13a²，
解得a=-5±$\sqrt{13}$，
∴P₁（-5-$\sqrt{13}$，0），P₂（-5+$\sqrt{13}$，0）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5-$\sqrt{13}$，0）或（-5+$\sqrt{13}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及坐標(biāo)與圖象的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、三角形的面積公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，值得關(guān)注．