Question

（2013•無錫）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構造命題．
（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；
（2）寫出按題意構成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的形式）

Answer 1

分析：（1）根據平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根據平行四邊形的判定推出即可；
（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可．

解答：（1）以①②作為條件構成的命題是真命題，
證明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴

AO

OC

=

BO

OD

，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）根據①③作為條件構成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形時平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；
根據②③作為條件構成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形時平行四邊形，如圖，

根據已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，相似三角形的性質和判定，等腰梯形的判定等知識點的應用，主要考查學生的推理能力和辨析能力，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．