Question

【題目】在中，，，，過點作直線，將繞點順時針旋轉得到（點，的對應點分別為，），射線，分別交直線于點，．

（1）如圖1，當與重合時，求的度數；

（2）如圖2，設與的交點為，當為的中點時，求線段的長；

（3）在旋轉過程中，當點，分別在，的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最小值為．

【解析】

（1）由旋轉可得：AC＝A'C＝2，進而得到BC＝，依據∠A'BC＝90°，可得，即可得到∠A'CB＝30°，∠ACA'＝60°；

（2）根據M為A'B'的中點，即可得出∠A＝∠A'CM，進而得到PB＝BC＝，依據tan∠Q＝tan∠A＝，即可得到BQ＝BC×＝2，進而得出PQ＝PB+BQ＝；

（3）依據S四邊形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而，利用幾何法或代數法即可得到S△PCQ的最小值＝3，S四邊形PA'B′Q＝3﹣．

解：（1）由旋轉可得：AC＝A'C＝2，

∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，

∴BC＝，

∵∠ACB＝90°，m∥AC，

∴∠A'BC＝90°，

∴cos∠A'CB＝，

∴∠A'CB＝30°，

∴∠ACA'＝60°；

（2）∵M為A'B'的中點，

∴∠A'CM＝∠MA'C，

由旋轉可得，∠MA'C＝∠A，

∴∠A＝∠A'CM，

∴tan∠PCB＝tan∠A，

∴，

∵∠BQC＝∠BCP＝∠A，

∴tan∠BQC＝tan∠A＝，

∴BQ＝BC×＝2，

∴PQ＝PB+BQ＝；

（3）∵S四邊形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，

∴S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，

∴，

法一：（幾何法）取PQ的中點G，

∵∠PCQ＝90°，

∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，

當CG最小時，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG與CB重合時，CG最小，

∴CGmin＝，PQmin＝2，

∴S△PCQ的最小值＝3，S四邊形PA'B′Q＝3﹣；

法二（代數法）設PB＝x，BQ＝y，

由射影定理得：xy＝3，

∴當PQ最小時，x+y最小，

∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，

當x＝y＝時，“＝”成立，

∴PQ＝+＝2，

∴S△PCQ的最小值＝3，S四邊形PA'B′Q＝3﹣．