Question

4．已知：如圖，△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，BE⊥AE，垂足為E，
（1）求證：AD=AE．
（2）若BE∥AC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由邊角關系求證△ADB≌△AEB即可；
（2）由題中條件可得∠BAC=60°，進而可得△ABC為等邊三角形．

解答 （1）證明：∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAD=∠BAE，
在△ADB和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠E}\\{∠BAD=∠BAE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE；

（2）△ABC是等邊三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC=90°，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴∠BAE=∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．