Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連結DE、OE.

小題1:試判斷DE與⊙O的位置關系并證明
小題2:求證：BC＝2CD·OE；
小題3:若tanC=,DE=2，求AD的長

Answer 1

小題1:DE與⊙O相切.……………………………………1分
證明：連接OD，BD。………………………………2分
∵AB是直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E是BC的中點，∴DE=BE=CE. ∴∠EBD=∠EDB.
∵OD=OB，  ∴∠OBD=∠ODB.
∴∠EDO=∠EBO=90°. ∴DE與⊙O相切.………………4分
小題2:∵OE是△ABC的中位線，∴AC=2OE……………5分
∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分
∴= .  即BC²=CD·AC.
∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分
小題3:

（3）∵tanC=，∴可設BD=，CD=2x.…………8分
在Rt△BCD中，.解之，得x=±(負值舍去)
∴BD==……………………………………9分
∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=BD=.………………………………10分