Question

21、如圖，將?ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．
（1）求證：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，連接AC、BE，求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

分析：（1）先由已知平行四邊形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，?∠ABF=∠ECF，從而證得△ABF≌△ECF；
（2）由（1）得的結論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得證．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠ABF=∠ECF，
∵EC=DC，∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴△ABF≌△ECF．

（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形．

點評：此題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定和性質及矩形的判定，關鍵是先由平行四邊形的性質證三角形全等，然后推出平行四邊形通過角的關系證矩形．