Question

（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF長．
（2）如圖，將?ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．
①求證：△ABF≌△ECF；
②若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形性質、等腰三角形性質、直角三角形斜邊上中線性質求出∠EBD=∠C，BD=DC=AD，求出∠ADE=∠BDF，∠EDB=∠FDC，證△EBD≌△FCD，△ADE≌△BDF，求出DE=3，DF=4，根據勾股定理求出EF即可；
（2）①推出平行四邊形ABEC，推出AF=EF，BF=CF，根據SSS證兩三角形全等即可；
②求出FA=FB，推出AE=BC，根據矩形的判定推出即可．

解答：（1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠A=∠C=45°，CD=AD，
∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=45°=∠C，
∵BD⊥AC，DE⊥DF，
∴∠BDC=∠EDF=90°，
∴∠BDC-∠BDF=∠EDF-∠BDF，
∴∠EDB=∠FDC，
∵在△EDB和△FDC中

∠EBD=∠C BD=DC ∠EDB=∠FDC

∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴FC=DE=3，
同理△AED≌△BFD，
∴DF=AE=4，
在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF=

32+42

=5；

（2）①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CD=CE，
∴AB∥CE，AB=CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AF=FE，BF=FC，
∵在△ABF和△ECF中

AB=EC AF=FE BF=CF

∴△ABF≌△ECF（SSS）；
②證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D，
∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠FAB，
∵∠ABC=∠FAB，
∴AF=FB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE=2AF，BC=2BF，
∴AE=BC，
∵四邊形ABEC是平行四邊形，
∴四邊形ABEC是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上中線性質等知識點的綜合運用．