Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點和，與軸交于另一點，且對稱軸是．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若是上的一點，作，交于點，當(dāng)的面積最大時，求點的坐標(biāo)；

（3）是軸上的點，過作軸，與拋物線交于點，過作軸于，是否存在點，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標(biāo)為；（3）點的坐標(biāo)為，，或．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，將原點和代入；列出方程組即可解答；
（2）求出點的坐標(biāo)為，設(shè)M，根據(jù)，得

，列出相似比得到，再由，得到關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；
（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)時，②當(dāng)時，分別列出相似比，得到關(guān)于n的方程即可求出點P的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，將原點和代入得：

解得

所以

（2）由，得，

∴點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為

由，得

∴

∴

∴

∴當(dāng)時，最大

所以點的坐標(biāo)為

（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為

①當(dāng)時，則

∴

∴

解這個方程，得，（不合題意，舍去），

∴點的坐標(biāo)為或

②當(dāng)時，

∴

∴

解這個方程，得，（不合題意，舍去），

∴點的坐標(biāo)系為或

綜上所述，點的坐標(biāo)為，，或．