Question

如圖所示，在RtABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3.將RtABC順時針旋轉120后得到RtADE，點B、C的對應點分別是點D、E.

（1）畫出旋轉后的RtADE；

（2）求出RtADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度;

（3）判斷RtADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關系，并說明理由.

Answer 1

（1）作圖見解析；（2）2．（3）AD與⊙M相切．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）把三角形ABC繞A旋轉120°就能得到圖形．

（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據垂徑定理知QF就是弧長PQ的一半．

（3）過M作AD的垂線設垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據角平分線的性質即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．

試題解析：（1）如圖Rt△ADE就是要畫的圖形

（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，垂足為F，由Rt△ABC可知，NE=1，

在Rt△MFQ中，解得FQ=，故弦PQ的長度2．

（3）AD與⊙M相切．

證明：過點M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=，

在Rt△AMN中，tan∠MAN=，

∴∠MAN=30°，

∵∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠MAD=30°，

∴∠MAN=∠MAD=30°，

∴MH=MN，

∴AD與⊙M相切．

考點：1.切線的判定；2.作圖-旋轉變換．