Question

如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．

（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；

（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點M為DE的中點，

∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，

∴．

∴△ADM≌△NEM．

∴AM=MN．

∴M為AN的中點．

（2）證明：如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三點在同一直線上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．

證明：如圖3，此時A、B、N三點在同一條直線上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，

∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，

∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三點在同一條直線上，

∴∠ABC+∠CBN=180°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．