Question

3．如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．
（1）求證：直線FG是⊙O的切線；
（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連結OE，如圖，利用角平分線定義得到∠1=∠2，加上∠1=∠3，則∠2=∠3，于是可判斷OE∥AF，則可利用AF⊥FG得到OE⊥FG，然后根據切線的判定定理得到直線FG是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，則OA=OE=r，由矩形的性質得∠ABC=90°，AB=CD=8，然后在Rt△OBE中利用勾股定理得到（8-r）²+4²=r²，解得r=5，于是得到⊙O的直徑為10．

解答 （1）證明：連結OE，如圖，
∵AE平分∠FAH，
∴∠1=∠2，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AF，
∵AF⊥FG，
∴OE⊥FG，
∴直線FG是⊙O的切線；
（2）解：設⊙O的半徑為r，則OA=OE=r，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=8，
在Rt△OBE中，OB=8-r，BE=4，OE=r，
∴（8-r）²+4²=r²，解得r=5，
∴⊙O的直徑為10．

點評 本題考查了切線的判定：切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．