Question

5．在同一平面內，三條直線兩兩分別相交于點A、B、C三點，點E是直線BC上一動點（點E不與點B、C重合），過點E分別作直線AB、AC的平行線，分別交直線AC、AB于點F、D．
①
（1）如圖1，當點E在B、C兩點之間時，求證：∠DEF=∠BAC；
（2）如圖2，當點E在線段BC延長線時，試判斷∠DEF與∠BAC的數量關系；
（3）如圖3，點E在線段CB延長線時，∠BEF的平分線交直線AB于G，過點E作EG的垂線．交直線AB于M，點N在FE延長線上；若∠ABC=80°，∠DEM：∠BED=2：3，求∠BAC的度數．

Answer 1

分析 （1）先根據AB∥EF得出∠BAC=∠EFC，再由AC∥DE得出∠DEF=∠EFC，進而可得出結論；
（2）先根據AC∥DE得出∠BAC=∠ADE，再由AB∥EF可知∠ADE+∠DEF=180°，進而可得出結論；
（3）先根據AB∥EF可知∠FEC=∠ABC，∠BAC=∠EFC．根據角平分線的性質得出∠GEC=∠FEC，由垂直的定義可知∠GEM=90°，故可得出∠CEM的度數．再根據∠DEM：∠BED=2：3得出∠BED的度數，故可得出∠FED的度數，再由AC∥DE可得出結論．

解答 （1）證明：∵AB∥EF，
∴∠BAC=∠EFC．
又∵AC∥DE，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠BAC=∠DEF；

（2）解：∵AC∥DE，
∴∠BAC=∠ADE．
∵AB∥EF，
∴∠ADE+∠DEF=180°，
∴∠BAC+∠DEF=180°；

（3）解：∵AB∥EF，
∴∠FEC=∠ABC=80°，∠BAC=∠EFC．
∵EG平分∠FEC，
∴∠GEC=∠FEC=$\frac{1}{2}$×80°=40°．
∵EG⊥EM，
∴∠GEM=90°，
∴∠CEM=∠GEM-∠GEC=50°．
又∵∠DEM：∠BED=2：3，
∴∠BED=30°，
∴∠FED=∠FEC+∠CED=80°+30°=110°．
∵AC∥DE，
∴∠FED+∠EFC=180°，
∴∠EFC=70°，
∴∠BAC=∠EFC=70°．

點評 本題考查的是平行線的判定與性質，熟知平行線的判定定理是解答此題的關鍵．