Question

11．如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．
（1）求證：CT為⊙O的切線；
（2）連接BT，若⊙O半徑為1，AT=$\sqrt{3}$，求BT的長．

Answer 1

分析 （1）連接OT，根據角平分線的性質，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線；
（2）連接BT，由圓周角定理得出∠ATB=90°，再由勾股定理求出BT即可．

解答 （1）證明：連接OT，如圖1所示：
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT為⊙O的切線；
（2）解：連接BT，如圖2所示：
∵AB是⊙O直徑，
∴AB=2，∠ATB=90°，
∴BT=$\sqrt{A{B}^{2}-A{T}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．

點評 本題主要考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定、圓周角定理、勾股定理；熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解決問題的關鍵．