Question

20．如圖，直線y₁=kx+b與反比例函數y₂=$\frac{k′}{x}$（x＜0）的圖象相交于點A、點B，與x軸交于點C，其中點A的坐標為（-2，4），點B的橫坐標為-4．
（1）試確定反比例函數和直線AB的解析式；
（2）求△AOB的面積．
（3）觀察圖象，請直接寫出當y₁＞y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數解析式，由點B的橫坐標結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出點B的坐標，再根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式；
（2）過點B作BD∥x軸交OA于點D，由點A的坐標利用待定系數法即可求出直線OA的解析式，結合點B的坐標即可得出點D的坐標，再根據三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）觀察函數圖象，根據兩函數圖象的上下位置關系即可得出當y₁＞y₂時x的取值范圍．

解答 解：（1）∵點A（-2，4）在反比例函數y₂=$\frac{k′}{x}$的圖象上，
∴k′=-2×4=-8，
∴反比例函數解析式為y₂=-$\frac{8}{x}$．
∵點B在反比例函數y₂=-$\frac{8}{x}$的圖象上，且點B的橫坐標為-4，
∴點B的坐標為（-4，2）．
將A（-2，4）、B（-4，2）代入y₁=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+6．
（2）過點B作BD∥x軸交OA于點D，如圖所示．
設直線OA的解析式為y=mx，
將A（-2，4）代入y=mx，
4=-2m，解得：m=-2，
∴直線OA的解析式為y=-2x，
∴點D的坐標為（-1，2），
∴BD=-1-（-4）=3．
∴S_△AOB=S_△ABD+S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×（4-2）+$\frac{1}{2}$×3×（2-0）=6．
（3）觀察函數圖象可知：當-4＜x＜-2時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，
∴當y₁＞y₂時，x的取值范圍為-4＜x＜-2．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例（一次）函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式；（2）利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積；（3）根據函數圖象的上下位置關系找出不等式的解集．