Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A，C，D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；
（2）求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），
∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），
∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分線（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），
∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=ED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，
∴AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
∴△ABC外接圓的半徑=

1

2

AB=

1

2

×13=

13

2

．