Question

18．⊙O的半徑為6，弦長為一元二次方程x²-5x-6=0的兩根，則弦到圓心的距離及弦所對的圓心角的度數分別是（　　）

• A． $\sqrt{3}$和30°
• B． $\sqrt{3}$和60°
• C． 3$\sqrt{3}$和30°
• D． 3$\sqrt{3}$和60°

Answer 1

分析 求出方程x²-5x-6=0的解，確定出弦AB的長，過O作OC⊥AB，連接OA，OB，如圖所示，利用垂徑定理得到C為AB的中點，由AB的長求出AC的長，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC的長，即為圓心O到弦AB的距離；由OA=OB=AB=6，得到三角形AOB為等邊三角形，可得出∠AOB=60°，即為AB所對的圓心角的度數．

解答 解：方程x²-5x-6=0因式分解得：（x-6）（x+1）=0，
解得：x=6或x=-1（舍去），
∴AB=6，
過O作OC⊥AB，連接OA，OB，如圖所示，
可得C為AB的中點，即AC=BC=3，
在Rt△AOC中，OA=6，AC=3，
根據勾股定理得：OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵OA=OB=AB=6，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
則圓心O到弦AB的距離以及AB所對的圓心角分別為3$\sqrt{3}$和60°．
故選D．

點評 此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及一元二次方程-因式分解法，利用了數形結合的思想，熟練掌握定理是解本題的關鍵．